Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung by Artur Bergmann, Erich Baumgartner

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven state of affairs. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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5) Bei der Darstellung einer Parallelverschiebung darf man den ersten Punkt beliebig w¨ ahlen. Dies ist eine unmittelbare Folge aus (4). 6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen 39 (6) F¨ ur jeden Punkt P ist τP P = idP . Dies folgt direkt aus der Definition von Parallelverschiebungen oder schneller nach (3). Beispiel : Wir wollen alle Parallelverschiebungen in der Minimalebene (vgl. 1) bestimmen. Zu den vier Punkten A, B, C, D der Minimalebene gibt es 42 = 16 Punktepaare. Da in der Minimalebene g(A, B) g(C, D) und g(A, C) g(B, D) und g(A, D) g(B, C) gelten, sind hier sowohl (A, B, C, D) als auch (A, B, D, C) und ebenso (B, A, D, C) und (B, A, C, D) (eigentliche) Parallelogramme.

3 ist dann auch (A, C, X, Z) ein Parallelogramm. Also ist τBC ◦ τAB (X) = Z = τAC (X). Da dies f¨ ur alle Punkte X gilt, ist damit τBC ◦ τAB = τAC gezeigt6 . 6 Der Leser f¨ uhre einen geometrischen Beweis f¨ ur diese Aussage (also einen Beweis mit Hilfe der Definition von Parallelogrammen) beginnend mit dem Fall, dass (A, B, X, Y ) und (B, C, Y, Z) eigentliche Parallelogramme und A, B, C nicht kollinear sind (vgl. Figur 16 auf der n¨ achsten Seite). 40 2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen Insbesondere ist also die Hintereinanderausf¨ uhrung von Parallelverschiebungen wieder eine Parallelverschiebung.

B) Eine Abbildung τ : P → P heißt Parallelverschiebung, wenn ein Punktepaar (P, Q) existiert mit τ = τP Q . τP Q heißt eine Darstellung von τ (die Darstellung von τ mit Hilfe von (P, Q) ). (c) Die Menge aller Parallelverschiebungen von A wird mit T bezeichnet. 5 Statt Parallelverschiebung sagt man h¨ aufig Translation (und deshalb schreiben wir ja auch τ daf¨ ur). Jedoch werden Translationen u uhrt, sondern durch ¨blicherweise nicht wie oben konstruktiv eingef¨ Eigenschaften gekennzeichnet. Wir reservieren daher im Folgenden den Begriff Parallelverschiebung‘ ’ f¨ ur die wie oben konstruktiv eingef¨ uhrten Abbildungen und werden den Begriff Translation‘ f¨ ur die ’ durch Eigenschaften gekennzeichneten Abbildungen verwenden.

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